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Question

(A) दिया गया है $2y = {\left( {{{\cot }^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 3 \cos x + \sin x}}{{\cos x - \sqrt 3 \sin x}}} \right)} \right)^2}$.कोष्ठक के अंद

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$x - \frac{\pi }{6}$

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(A) दिया गया है $2y = {\left( {{{\cot }^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 3 \cos x + \sin x}}{{\cos x - \sqrt 3 \sin x}}} ight)} ight)^2}$.कोष्ठक के अंदर अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर:$\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x}}{{\frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x}} = \frac{{\sin(x + \frac{\pi }{3})}}{{\cos(x + \frac{\pi }{3})}} = 	an(x + \frac{\pi }{3})$.अतः,$2y = {\left( {{{\cot }^{ - 1}}(	an(x + \frac{\pi }{3}))} ight)^2}$.${{\cot }^{ - 1}}(	an 	heta ) = \frac{\pi }{2} - 	heta$ का उपयोग करने पर:$2y = {\left( {\frac{\pi }{2} - (x + \frac{\pi }{3})} ight)^2} = {\left( {\frac{\pi }{6} - x} ight)^2}$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$2\frac{{dy}}{{dx}} = 2(\frac{\pi }{6} - x) \cdot (-1)$.$\frac{{dy}}{{dx}} = -(\frac{\pi }{6} - x) = x - \frac{\pi }{6}$.

यदि $2y = {\left( {{{\cot }^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 3 \cos x + \sin x}}{{\cos x - \sqrt 3 \sin x}}} \right)} \right)^2}$ और $x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ है,तो $\frac{{dy}}{{dx}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $y = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ जहाँ $|x| < 1$,तो $x = \frac{1}{2}$ पर $\left(\frac{dy}{dx}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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